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　　性的齐次加权Ｈｅｒｚ空间Ｋ宇’Ｐ（Ａ，“Ｊ１，叫２）和各向异性的齐次加权Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ

　　文章首先简要回顾了各向异性的Ｈｅｒｚ空间及Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间的产生，

　　发展及其基础知识． Ｂｏｗｉｎｋ在文献【６１中引入并研究了伴随非常一般的离散

　　伸缩群的备向异性空间，并且完美的建立了各向异性空间理论．ＤｉｎｇＹ和Ｌａｎ

　　ＳＨ在文献【１８】和【２１】中详细地介绍了各向异性Ｈｅｒｚ空间和各向异性Ｈｅｒｚ型

　　接着，我们给出了各向异性的齐次加权Ｈｅｒｚ空间Ｋ孑伊（Ａｕ１，ｕｚ）及中，５－

　　（Ｏｔ，ｑ，ｕ１，ｕ２）块的定义，在此基础上建立了Ｋ芦（Ａｕ１，０３２）的分解理论，作为

　　应用，讨论了圯．（Ｒ“）上有界且满足一定条件的线性算子丁在加权Ｈｅｒｚ空间

　　文章最后，给出了各向异性的齐次加权Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间日凡≯（Ａ，ｕ１．ｕ２）

　　及中心（Ｑ，ｑ，８，ｕ１，‘ｕ２）原子的定义，得到了极大定理和空间的原子分解，作为应

　　用证明了Ｌ＆（眇）上有界的满足一定条件的线性算子丁在加权Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ

　　关键词：各向异性；权；Ｈｅｒｚ空间；Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间；中心原子；分解

　　Ｒｅｎｃｅｎｔｌｙ，ｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃＨａｉｄｙｓｐａｃｅ

　　ｉｓａｔｔｒａｃｔｅｄｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｅａｔｔｅｎｔｉｏｎ，ａｎｄ

　　Ｈｅｒｚ－ｔｙｐｅＨａｒｄｙｓｐａｃｅ日Ｋ芋’ｐ（Ａ，Ｗ１，ｕ２），ｔｈｅｎ

　　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃｗｅｉｇｈｔｅｄ

　　ｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｏｆｓｏｍｅｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒ

　　ｔｙｐｅＨａｒｄｙｓｐａｃｅ日孵’ｐ（Ａ，Ｗ１，Ｗ２）ａｎｄｃｅｎｔｒａｌ（ａ，ｑ，ｓ，叫ｌ，Ｗ２）ａｔｏｍ，ｔｈｅｎ

　　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｍａｘｉｍａｌｔｈｅｏｒｅｍａｎｄｔｈｅａｔｏｍｉｃｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ．Ａｎｄ

　　ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃｗｅｉｇｈｔｅｄＨｅｒｚ－ｔｙｐｅＨａｒｄｙ

　　置中，一直以来是调和分析中的热点问题之一．早在１９７０年代中期，Ｃａｌｄｅｒ６ｎ

　　和Ｔｏｒｃｈｉｎｓｋｙ（［１］，【２】）开创了伴随于某些参数伸缩群的Ｒｎ上抛物型Ｈａｒｄｙ空

　　齐性的伸缩结构．２００３年，Ｂｏｗｉｎｋｆ６１引入并研究了伴随非常一般离散伸缩群

　　的各向异性Ｈａｒｄｙ空间．这种Ｈａｒｄｙ空间包括了Ｆｅｆｆｅｒｍａｎ和Ｓｔｅｉｎ（［７］，Ｉｓ］）建

　　立的经典的各向齐性Ｈａｒｄｙ空间以及Ｃａｌｄｅｒ６ｎ和Ｔｏｒｃｈｉｎｓｋｙ（［１】，［２］）建立的抛

　　物型Ｈａｒｄｙ空间．近几年来，对于Ｒ“上的Ｈｅｒｚ空间和加权的Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ

　　空间（参见［９－１７］）被广泛关注．ＤｉｎｇＹ和ＬａｎＳＨ（［１８］，［２１】）引进了各向异性

　　Ｈｅｒｚ空间和各向异性Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间，并讨论了一些性质和应用．Ｂｏｗｉｎｋ

　　等在［１９】中引入了各向异性的加权Ｔｒｉｅｂｅｌ—Ｌｉｚｏｒｋｉｎ空间并讨论了原子分解和

　　分子分解，同时Ｂｏｗｉｎｋ在［２０］中讨论了各向异性的加权Ｂｅｓｏｖ空间以及一些

　　主要结果．但是，各向异性的加权Ｈｅｒｚ空间ｊ鳄∥（Ａ，ｕ１，“，２）和各向异性的加权

　　Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间日ｊ曙伊（Ａ，ｕ１，ｕ２）的概念和有关性质还未被研究．我们知

　　道，Ｈａｒｄｙ空间和Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间（参见［９】，【１４】，［２２】等）的原子和分子刻

　　各向异性的加权Ｈｅｒｚ空间和各向异性的加权Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间进行研究，

　　特征值Ａ，满足…＞１．设入１…．Ａ凡为Ａ的所有特征值（按重数计），使得ｌ＜

　　Ｉ入１Ｉ≤…≤Ｉ入。１．对—个非退化扎×ｎ阶实矩阵Ｐ，称△＝｛ｚ∈Ｒ”：ＩＰｘＩ＜１｝

　　其中ｂ＝ＩｄｅｔＡＩ＝兀翟】ｈＩ＞１；记Ｂ为所有关于Ａ的伸缩球的集合，即

　　个伴随于扩张矩阵Ａ的齐次拟范数指的是可测映射ＰＡ：Ｒｎ＿【０，。。），满足

　　【６，引理２．４】）．这里，我们采用孵上由伸缩Ａ导出的阶梯齐次拟范数Ｐ【６】：

　　Ｃ－１ｐ（ｚ）１ｎ一／１ｎ６≤Ｉｚｌ≤ｅＰ（ｚ）１以＋／１ｎ６， 当ｐ（ｘ）≥ｌ；．．

　　ｃ一１ｐ（ｚ）ｌｎＡ十／１ｎ６≤Ｉｚｌ≤ｑＤ（ｚ）１ｎ一／１ｎ６， 当ｐ（ｘ）≤１． （０．４）

　　称一个定义在Ｒｎ上的Ｃｏ。复值函数妒属于Ｓｃｈｗａｒｔｚ类Ｓ，如果对所有的多

　　对一个Ｎ∈Ｎ，记ｔ鼾＝．【妒∈Ｓ：№忆ｍ≤１，对ｌＯｌｌ≤Ｎ，ｍ≤Ⅳ）．５的对偶

　　从文献［６，命题３．１０】可知，非切向Ｇｒａｎｄ极大函数和径向Ｇｒａｎｄ极大函数

　　拟范数取｜ｌ，ｌｌ舻＝Ｉｌ嗡刑ｐ，只要满足Ｎ≥Ⅳｐ，这里日二（Ⅱｐ）的定义不依赖

　　对于上面定义的各向异性Ｈａｒｄｙ空间日盖（Ｒ竹），Ｂｏｗｎｉｋ在文献［６】中讨论

　　了它们的一些性质及原子分解和分子分解，并得到了一类Ｃａｌｄｅｒ６ｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ

　　定理Ａ（极大定理）若记厂：＝｛妒∈Ｌ∞（舻）：Ｉ妒（ｚ）Ｉ≤（１＋ｐ（ｚ））－８）．其

　　ｌ｛ｚ：Ｍｆ（ｘ）＞入｝ｌ≤ｃｉｖｉｌｌ／入，，∈Ｌ１（Ⅱ乏”），Ａ＞ｏ；

　　Ｉ［Ｍｆｌ［ｐ≤唧／（ｐ一１）ｌｌｆ［Ｉｐ，，∈ｔｅ（Ｒ咒），１＜Ｐ＜（３０．

　　（ｂ）Ｑ是开集，ＩＱＩ＜（３０，任一条件成立，对于所有ｚ∈Ｑ，有ｚ＋Ｂ，（ｚ）Ｃ

　　定理Ｂ假设带有核Ｋ（ｘ，Ｙ）的算子Ｔ是ｍ阶Ｃａｌｄｅｒ６ｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ算

　　子．则存在算子序列（正）ｔ∈Ｚ，ｉ∈ｚ，核Ｋ（ｚ，Ｙ）∈Ｃ∞，ＩＩＴ ＩＩ＜。）≤Ｃ，使得

　　进一步，若对ＩＯｔＩ≤８，有ｒ（矿）＝０，则同样有（正）’（ｚ。）＝０，ＩＱＩ≤ｓ，

　　则对于ＩＯｅＩ≤８＝【（１／ｐ一１）ｈ１６／ｌＩｌＡ一】，只要满足Ｐ＠ｎ）＝０，Ｔ就能扩张成

　　ＤｉｎｇＹ和ＬａｎＳＨ建立了各向异性的Ｈｅｒｚ空间和各向异性的Ｈｅｒｚ型

　　Ｈａｒｄｙ空间，并讨论了它们的分解理论和某些算子的有界性问题．这里主要叙

　　霹巾（Ａ，职）＝．【，：ｆ∈ＬＩｏｎ（ＪＲ”＼｛ｏ川ｌ川簖，，（Ａ＇Ｒｎ）＜。。），

　　（ｂ）伴随伸缩Ａ的各向异性的非齐次Ｈｅｒｚ空间Ｋ孑’ｐ（Ａ，Ｒ”）定义为

　　“．，”，譬．，＝＝ｌｌｆｘＢｏｌ［艺。。Ｒ。，—卜喜譬ａｐＩｌ，ｘ。１１２。。Ｒ。，）１７ｐ．

　　（ａ）伴随伸缩矩阵Ａ的各向异性的齐次Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间日Ｋ芦（Ａ础）定

　　日霹’ｐ（Ａ，Ｒｎ）＝｛，∈∥（Ｒ”），Ａ‰，∈爿＂口Ｏｒ＇ｐ（Ａ，Ⅱｕ）），

　　（ｂ）伴随伸缩矩阵Ａ的各向异性的非齐次Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间日Ｋ；巾（Ａ，黔）

　　日Ｋ孚巾（Ａ，Ｒｎ）＝＜ｆ∈ｓ７（Ｒ”），ＭＮｆ∈ＥＯｔ伊（Ａ，甜）），

　　定理Ｅ令０＜Ｐ≤。ｏ，１≤ｇ＜ｏ。，ａ＞０．则ｆ∈Ｒｙ（Ａ，瞅）的充分必

　　函数．厂∈Ｌ。（Ｒ“），从Ｌｑ（Ｒ”）到Ｌｑ（Ｒ”）有界的线性算子丁满足下面的条件

　　ｓ≥【（ａ＋１／ｑ一１）ｌｎｂ／Ｍ一】，若，（ｚ）＝∑Ａ艘七（ｚ），其中每个ｎ七为一中心

　　假设０＜Ｐ＜。。，１＜ｑ＜００，１一：≤Ｑ＜１一百１＋ｌｎ入一／ｌｎｂ，则

　　其中每个。七为一中，５－（Ｑ，ｑ，ｏ）型原子，ｓｕｐｐａ七ｃＢ七，∑Ｉ入七ｆｐ＜ｏｏ，且有

　　定理Ｉ假设０＜Ｐ＜。。，１＜ｑ＜ｏｏ，１一：≤Ｏｌ＜１一；１＋ｌ以一／ｈ１６．若对

　　定理Ｊ 假设１＜ｑ＜ｏ。，１—１。≤ｎ２≤ｑ１＜１一＋ｌｎＡ一／ｈ１６，１一：１≤尾≤

　　卢１＜１一÷＋ｌＩｌ入一ｌｉｎＤ，Ｑ１一０２＝卢１一伤，０＜Ｐｔ，仉＜。。，ｉ＝１，２，若对于任一中

　　中．则丁将日孵巾（Ａ，舭）映射于日瑶一（Ａ，舯），其中ａ＝ｔａｌ＋（１一ｚ）０２，

　　∥＝ｚ岛＋（１一ｚ）倪，０＜ｔ＜ｌ，０＜，ｙ＜ｏ。及０＜Ｐ≤ｒａｉｎ（１，７）．

　　在这篇文章中，我们受到文献［１８】等的启发，一引进了各向异性的加权Ｈｅｒｚ

　　空间砖，Ｐ（Ａ，０３１，ｕ２）及中心（Ｑ，ｑ，ｕ１，ｕ２）块的定义，并建立了螂巾（Ａ，０３１，０３２）

　　的分解理论，作为应用，又讨论了Ｌ乙（Ｒ”）上有界且满足一定条件的线性算子

　　Ｔ在加权Ｈｅｒｚ空间秘，ｐ（Ａ，ｕ１，ｕ２）的有界性．也给出了各向异性的加权Ｈｅｒｚ

　　型Ｈａｒｄｙ空间日孵，Ｐ（Ａ，ｕ１，ｕ２）及中心（Ｑ，ｑ，ｓ，ｕ１，ｕ２）原子的定义，并得到了

　　极大定理和空间的原子刻画，作为应用证明了Ｌ乙（Ⅱｐ）上有界的满足一定条件

　　的线性算子丁在加权Ｈｅｒｚ型Ｈａｒｄｙ空间日ｊ曙巾（Ａ，０３１，０３２）的有界性．

　　注：在整篇文章中，都假设风＝Ａ七△，瓯＝Ｂｋ＼Ｂｋ一１，特征函数ｘ七＝ＸＣｋ，

　　ｐ（ｘ）是由（ｏ．１）式定义的拟范数，ｃ表示不依赖主要参量的常数，它的值在不

　　的加权Ｈｅｒｚ空间．受到文献［１８］等的启发，在这一章中，我们给出了各向异性

　　定义１．１ 设０＜ａ＜∞，０＜Ｐ≤ＣＫ），ｌ＜ｑ≤ＣＸ），Ｗ１，Ｗ２是属于Ａ１权的

　　（ａ）伴随伸缩矩阵Ａ的各向异性的齐次加权Ｈｅｒｚ空间ＫＰ（Ａ，ｕ１，ｕ２）定义为

　　曰巾（Ａ，ｕ１－０）２）＝｛，：，∈ＬＬ（Ｒ“＼．【ｏ），ｗ２），Ｉｌｆｌｌ蔚・ ，（舢。砘）＜ｏ。），

　　ｐ ， ｃ Ｂ 七 ， ］ 叩 Ｉ ｌ ｆ ｘ ｋ ＝ － ｏ ｏ 川２：：）１加．

　　（ｂ）伴随伸缩矩阵Ａ的各向异性的非齐次加权Ｈｅｒｚ空间Ｋ宇’ｐ（Ａ，ｕ１，ｕ２）被定

　　ＩＩｆｌｌ 譬‘一（Ａ，‰屹）＝ＩｌｆｌｌＬｏ。＋Ｉｌｆｌｌｅｚ，，（Ａ ｗｌ ｗ２）・

　　若Ｗ１三Ｗ２三１，则露巾（Ａｕｌ，Ⅳ２）和霸’ｐ（Ａ，ｕ１，Ｗ２）分别是文献［１４】中的

　　（ａ）可测函数６（ｚ）被称为一中一５－（ａ，ｑ，Ｗ１，Ｗ２）块，指它满足：

　　（ｂ）可测函数ｂ（ｘ）被称为一限制型的中心（Ｑ，ｇ，Ｗ１，ｕ２）块，若它满足（２）和

　　对于上节定义的各向异性齐次加权Ｈｅｒｚ空间砖巾∽，ｕ，，ｕ２），我们有如

　　定理１．１ 令０＜Ｐ＜ＯＯ，１≤口＜ＯＯ，０＜ａ＜ＯＯ，ｕ１，ｕ２∈Ａ１．则

　　其中Ａ七＝ｐ，（巩）ＨＩ．厂ｘ七ＩＩ碍：，ｂｋ‘＝ｆ（ｘ）ｘ七（ｚ）ｐ，（仇）】＿口Ｈｆｘ％ＩＩＺ是，容易验

　　．【∑Ｉ入七Ｉｐ）１／ｐ＝｛∑ｐ・ （男七）】唧Ｉｌ，ｘ七Ｉ瞪５。）１屈＝Ｉｌ川端，，（Ａ舢，眈）＜ｏ。．

　　≤（∑Ｉ入七Ｉｐｐｌ（Ｂ七）】＿印７２）１／ｐ（∑ｐ・ （Ｂ七）】－印’７２）１∥

　　≤ｃｋＰ＞ｊ。ｃ岛，】一口，ｚ＜塞Ｉ入七Ｉｐｐ，ｋｃ＞Ｂｊ凫，】一印，ｚ＞１／ｐ

　　在这一节，我们利用各向异性的加权Ｈｅｒｚ空间的分解定理来讨论在Ｌ己（Ｒ“）

　　ｖｆ∈圯（ⅡＰ），且，为具有紧支集的可积函数，在圮（舯）上有界的线性算子Ｔ

　　证明假设，∈Ｋ‘ｑ。巾（Ａ，ｕ１，ｕ２），由定理１．１可知，存在，的分解

　　②１＜ｐ＜００，令；１＋专＝１，由ＨＳｌｄｅｒ不等式及丁的Ｌｑ。（Ｒ”）有界性，有